(资料图)

一、题文

中国载人登月工程规划在2030年前后实现航天员登月。设想在2029年4月27日，中国宇航员登上月球。由于月球表面无空气，也就是没有空气阻力。宇航员在月球表面借助智能机器人完成这样一个实验：沿水平方向将一个质量的小球以某一初速度从点水平抛出，恰好从光滑圆弧轨道的点的切线方向进入圆弧轨道（进入圆弧时无机械能损失）。已知圆弧轨道的半径，，点与点的水平距离（间距），小球到达点时的速度。已知万有引力常量为，月球的半径月约为，不考虑月球的自转。解答下列问题：（计算结果保留两位有效数字）（1）求月球表面的重力加速度（可用分数表示）；（2）估算月球的第一宇宙速度；（3）求小球到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力。

二、解答

（1）小球到点的速度如图所示，小球做平抛运动的初速度等于的水平分速度由图可知……1分小球运动至点时竖直方向的分速度为……2分又已知点与点的水平距离为，则有……3分又解得……4分（2）月球的第一宇宙速度即为近月卫星的运行速度，对质量为的近月卫星，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律……5分第一问已经得出月球表面的重力加速度为……6分月球上质量为的物体，有……7分联立解得……8分（3）设小球到达圆弧最低点时，由机械能守恒……9分轨道对它的弹力为，由圆周运动向心力公式得代入数据得……10分由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小……11分由此可得，方向竖直向下……12分

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